sei in Home > Mistero > Articoli > Dettaglio Articoli
18 Febbraio 2004 MISTERO
Loris Bagnara
La geometria di Giza
DOWNLOAD PDF 608 KB

Quando si tratta di Giza, normalmente è la Grande Piramide a focalizzare l'attenzione dei ricercatori, ma appena si allarga la sfera d'indagine e ci s'inoltra nello studio del sito (vedi fig. 1), ad un certo punto è inevitabile affrontare la questione: l'intero complesso è tracciato secondo le linee di un progetto unitario oppure no?
In verità, è convinzione comune che le tre piramidi maggiori siano il risultato di tre distinte volontà: infatti, sarebbero state costruite in successione dai faraoni Khufu, Khafre e Menkaure (IV dinastia) nell'arco di un secolo circa; inoltre, si ritiene che Khafre e Menkaure non avessero potuto competere col loro predecessore, nella grandiosità dell'opera, per mancanza di sufficienti risorse; di qui la necessità di accontentarsi di strutture più piccole e semplici, e anche meno accurate (il fatto sembrerebbe particolarmente evidente nella Terza piramide). è chiaro che questa teoria si trova in palese contrasto con l'ipotesi di un progetto generale di Giza: l'aspirazione di ciascun sovrano a superare il predecessore sarebbe stata in disaccordo con l'obiettivo di perseguire uno schema generale che, una volta completato, andasse oltre l'individualità dei singoli sovrani. Comunque, è tutto da dimostrare che ai successori di Khufu mancassero sufficienti risorse: secondo la teoria più accreditata, infatti, Khafre, nel corso del suo regno, avrebbe realizzato non solo una piramide grande quasi quanto quella del suo predecessore, ma anche la Sfinge, com'è noto; a conti fatti, Khafre avrebbe benissimo potuto superare Khufu, ma non lo fece. Perché? Forse perché doveva rispettare un disegno generale, lo stesso disegno che in seguito avrebbe guidato anche Menkaure nella costruzione della sua "piccola" piramide; forse tale disegno prevedeva che ciascuna piramide dovesse comunicare qualcosa di peculiare; e forse pure lo stesso disegno generale - ad un altro livello di lettura, più profondo - intendeva comunicare qualcosa.
Bisogna ammettere che è perlomeno legittimo chiedersi se furono davvero i faraoni della IV dinastia - e solo essi - a dare forma a questo sito straordinario: l'esistenza di una struttura socio-politica capace di perseguire un obiettivo di tale portata nel breve arco di un secolo e di portarlo a termine in maniera così spettacolare, è qualcosa che lascia a dir poco increduli e che costituisce di per sé un enigma. In questa sede tuttavia eviterò di affrontare tale spinosa questione e lascerò semplicemente che siano la matematica e la geometria a parlare: come potremo vedere, apparirà chiaro che i monumenti di Giza comunicano da soli e in un linguaggio talmente preciso - matematico e geometrico, appunto - da non poter essere equivocato. La mia analisi, dunque, si limiterà a mettere in evidenza una serie di correlazioni assolutamente oggettive, verificabili da chiunque, ove non è concesso troppo spazio all'interpretazione individuale; solo alla fine, semmai, ciascuno di noi potrà avventurarsi nelle speculazioni in merito a "come, quando, da chi" fu realizzato questo stupefacente dispositivo architettonico.

 Fig. 1 - La mappa della necropoli di Giza e gli schemi geometrici che ispirarono il progetto delle piramidi maggiori.

La Grande Piramide
Da tempo è noto — come dimostrato da diversi ricercatori — che nelle dimensioni della Grande Piramide sarebbe incorporato il numero «pi greco» (P); ma altri ricercatori hanno preferito attribuire all'edificio l'appellativo di «piramide aurea» per il fatto che nelle sue dimensioni sarebbe incorporato appunto il «numero aureo» (F). Dunque, come stanno le cose? Ebbene, dirò subito che le dimensioni della piramide sono per così dire uniche, cioè tali da incorporare al tempo stesso sia P che F.
Darò per scontata la conoscenza di questo monumento da parte del lettore (si rimanda ad esempio al libro The Pyramids of Egypt di I.E.S. Edwards). Non mi soffermerò ad esaltare le straordinarie caratteristiche della Grande Piramide dal punto di vista ingegneristico (tanto che, perfino ai giorni nostri, realizzare un edificio così colossale rispettando i medesimi standard di precisione sarebbe un'impresa incredibilmente impegnativa), giacché non è questo il punto che ora m'interessa affrontare. A prescindere dagli strumenti e dalle tecniche che furono impiegati nella costruzione, ciò che mi preme portare all'attenzione sono le proprietà geometriche del monumento: come vedremo, anche questo solo aspetto è sufficiente a dimostrare l'esistenza di profonde conoscenze matematiche e di un progetto estremamente accurato.
Queste sono le dimensioni della Grande Piramide (fonte Edwards, citata): la lunghezza media dei lati della base è di 230,36 m, mentre l'altezza originariamente era di 146,73 m (ora la piramide è più bassa di qualche metro, avendo perso il piramidione). In quale modo queste dimensioni possono incorporare i numeri P e F? Immaginiamo di tenere fissa la base di una piramide e di aumentarne via via l'altezza: ad un certo punto arriveremo ad un ben preciso valore dell'altezza, tale per cui l'apotema è esattamente pari a metà del lato di base moltiplicato per F; aumentando ancora l'altezza, fino ad un altro ben preciso valore, avremo che il rapporto fra il semiperimetro di base (cioè la somma di due lati) e l'altezza stessa diventa esattamente pari a P. Quali sono questi particolari valori dell'altezza?
Vediamo il primo caso. Metà del lato di base moltiplicato per F corrisponde a 186,36 m (1,61803´230,36/2): questa dunque è la lunghezza dell'apotema, dalla quale possiamo derivare l'altezza della piramide con l'applicazione del teorema di Pitagora. A conti fatti, si ricava un valore di 146,51 m: vale a dire che se la Grande Piramide fosse stata alta esattamente 146,51 m — le dimensioni di base essendo quelle già dette — il numero aureo F sarebbe esattamente incorporato nel rapporto fra apotema e metà del lato di base. In altre parole, l'esatta altezza di una «piramide aurea» avente le dimensioni di base identiche a quelle della Grande Piramide è 146,51 m, valore che differisce di appena 22 cm dall'altezza effettiva originaria dell'edificio.
Vediamo ora il secondo caso. Il semiperimetro di base è di 460,72 m, che diviso per P fornisce l'esatta altezza ideale della piramide: 146,65 m, valore che differisce di 14 cm dal precedente (quello della piramide aurea) e di appena 8 cm dall'altezza effettiva originaria della Grande Piramide.
Riassumiamo. Se le dimensioni di base di una piramide corrispondono a quelle effettive della Grande Piramide, si ha:

  1. una «piramide F» (piramide aurea) se l'altezza è pari a 146,51 m;
  2. una «piramide P» se l'altezza è pari a 146,65 m.
Si dovrebbe, ora, comprendere il senso della mia precedente affermazione, ossia che le dimensioni della Grande Piramide sono uniche: infatti, ferme restando le dimensioni di base, vi è un solo valore dell'altezza tale che entrambi i numeri P e F restino espressi — nei rapporti descritti — con la migliore approssimazione possibile. Tale valore è 146,61 m; se questa fosse stata l'altezza originaria della Grande Piramide, avremmo rilevato che:
  1. il rapporto fra apotema e metà del lato di base sarebbe stato pari a 1,6186, valore che differisce da F per un errore di +0,04%;
  2. il rapporto fra semiperimetro di base e altezza sarebbe stato pari a 3,1432, valore che differisce da P per un errore di +0,04%.
Rispetto al valore ideale di 146,61 m, l'altezza effettiva originaria differisce di 12 cm: è possibile che solo per caso la Grande Piramide sia stata eretta con queste precise, straordinariamente significative proporzioni? Difficile crederlo; oltre tutto con questa altezza ideale si verificano altre due notevoli proprietà geometriche:
  • il rapporto fra altezza e metà del lato di base può essere espresso dalla frazione 14/11, con un errore praticamente nullo (per inciso, tale frazione è un'ottima approssimazione della radice quadrata di F);
  • il rapporto fra altezza e metà della diagonale può essere espresso dalla frazione 9/10, con un errore anche in questo caso praticamente nullo.

Quest'ultima osservazione, però, potrebbe paradossalmente indebolire la precedente scoperta (ossia che i numeri P e F sarebbero contenuti nelle dimensioni della Grande Piramide): infatti, si potrebbe credere che i particolari rapporti fra altezza e dimensioni di base fossero stati scelti solo per comodità costruttiva (e dunque non per il fatto che incorporassero i numeri P e F), giacché in tal modo la progressiva elevazione della piramide — in corso di costruzione — avrebbe potuto più agevolmente essere controllata attraverso calcoli semplificati. Per chiarire il concetto, con quelle precise proporzioni si sapeva che ad ogni 14 unità di crescita in altezza dovevano corrispondere 22 unità di incremento del lato di base, oppure che ad ogni 9 unità di crescita in altezza dovevano corrispondere 20 unità di incremento della diagonale di base.
Personalmente ho la sensazione che chi sa risolvere i problemi ingegneristici posti dalla costruzione di un edificio di tale complessità non dovrebbe aver necessità di simili agevolazioni geometriche. Oltre tutto, già da molto tempo è stato osservato che la Grande Piramide non solo codificherebbe peculiari relazioni geometriche e matematiche, ma sarebbe anche in rapporto con le dimensioni della Terra: infatti, il lato di base è più corto di soli 1,56 m rispetto a un ottavo di un minuto d'arco di longitudine (che corrisponde a 231,92 m), mentre l'altezza differisce di appena 0,42 m dal valore che si ottiene dividendo il raggio polare della Terra per 43.200 (che corrisponde a 147,15 m)(1).
Tuttavia è bene non dare nulla per scontato: se i rapporti geometrici che esprimono P e F non sono frutto del caso, allora molto probabilmente dovremmo ritrovarli anche in altri monumenti di Giza, o persino nella disposizione generale dei monumenti stessi. È per questa ragione che, ora, ci inoltreremo nell'analisi geometrica dei monumenti principali e dell'intera planimetria di Giza.

Il rilievo delle piramidi di Giza
I monumenti più importanti della necropoli di Giza sono, come sappiamo, le tre piramidi di Khufu, Khafre e Menkaure, e naturalmente la Sfinge, attribuita pure al faraone Khafre. I tre faraoni citati appartengono alla IV dinastia, e quindi la costruzione delle rispettive piramidi si può collocare, secondo le cronologie ufficiali, fra il 2600-2575 a.C. (inizio della IV dinastia) e il 2490-2465 a.C. (fine della IV dinastia).
Come per la Grande Piramide, anche per gli altri monumenti se ne dà per scontata la conoscenza da parte del lettore (vedi sempre The Pyramids of Egypt di Edwards, ad esempio).
Le fonti da cui ho attinto i dati dimensionali sono The Pyramids of Egypt di Edwards e The Pyramids and Temples of Giza di W.M. Flinders Petrie (questi, che fu uno dei maggiori archeologi del sec. XIX, non si limitò a rilevare i singoli monumenti, ma condusse un dettagliato rilevamento topografico dell'intero sito conseguendo risultati che possiamo ritenere ancora oggi fondamentalmente validi). Nelle tabelle che seguono sono riportati posizionamento e dimensioni delle tre piramidi principali; le misure sono espresse in metri e nell'unità adottata originariamente (pollici o piedi anglosassoni). Per comodità, le tre piramidi di Khufu, Khafre e Menkaure sono designate rispettivamente come prima, seconda e terza piramide.

tabella 1 - DISTANZE ASSIALI FRA LE PIRAMIDI DI GIZA (petrie)
  da N a S da E a O
Fra la 1a e la 2a piramide 13.931,6" » 353,86 m 13.165,8" » 334,41 m
Fra la 2a e la 3a piramide 15.170,4" » 385,33 m 9450,2" » 240,04 m
Fra a 1a e la 3a piramide 29.102,0" » 739,19 m 22.616,0" » 574,45 m
 
tabella 2 - DIMENSIONI DELLE PIRAMIDI DI GIZA (petrie)
  lato di base altezza
Prima piramide 9068,8" » 230,35 m 5776,0±7.0" » 146,71±0,18 m
Seconda piramide 8474,9" » 215,26 m 5664,0"±13,0" » 143,87±0,33 m
Terza piramide 4153,6" » 105,50 m

a) 2564,0"±15" » 65,13±0,38 m
b) 2580,8"±2" » 65,55±0,05 m

 
tabella 3 - DIMENSIONI DELLE PIRAMIDI DI GIZA (cole)
  lato di base altezza
Prima piramide 755,79' » 230,36 m 481,4' » 146,73 m
Seconda piramide 707,75' » 215,72 m 471' » 143,56 m
Terza piramide 356,5' » 108,66 m 218,0' » 66,45 m

Come si può vedere, sono veramente minime le differenze fra i rilievi di Petrie e quelli di Cole, per quanto riguarda la Grande Piramide; nel caso della piramide di Khafre le differenze sono maggiori, ma comunque non tali da mettere in dubbio la fondamentale validità del lavoro di Petrie; solo nel caso della piramide di Menkaure le differenze sono notevoli (soprattutto nelle dimensioni di base), tanto da lasciare parecchio perplessi. L'accuratezza dell'opera di Petrie ci consente di escludere categoricamente il semplice errore; bisogna pensare piuttosto alle difficoltà nel determinare quella che doveva essere la sagoma originaria dell'edificio, di cui ai giorni nostri resta poco più che il nucleo interno privato della quasi totalità del rivestimento originario; peraltro la superficie esterna di quest'ultimo non fu mai completamente rifinita e ciò naturalmente non fa che rendere più incerte le operazioni di rilievo. è evidente pertanto che colui che esegue il rilievo si trova costretto a formulare ipotesi in merito alla sagoma originaria dell'edificio; ma è altresì evidente che diverse ipotesi, altrettanto legittime, condurrebbero a risultati diversi. Questo tipo di difficoltà giustifica il duplice valore fornito da Petrie per la piramide di Menkaure e probabilmente anche la diversa ipotesi interpretativa assunta da Cole, da cui consegue la differente stima non solo dell'altezza, ma anche delle dimensioni di base. Inoltre, non è improbabile che pure la piccola differenza nei due rilievi della piramide di Khafre si possa spiegare proprio alla luce di una diversa ipotesi interpretativa, piuttosto che con una presunta maggiore precisione del rilievo eseguito in tempi più recenti; potrebbe darsi, infatti, che dopo tutto fossero più corrette proprio le ipotesi interpretative di Petrie.


Geometrie piramidali
Le notevoli proprietà geometriche della Grande Piramide sono da attribuire al caso, oppure ad un preciso intento progettuale? Ebbene, il modo migliore per tentare di far luce sulla questione è di verificare se anche le altre piramidi posseggano analoghe proprietà.
Tralasciando per il momento le dimensioni assolute delle tre piramidi, è interessante indagare quali proprietà geometriche derivino semplicemente dalle loro proporzioni. Il progetto di una piramide può essere definito attraverso due soli elementi: infatti, una volta fissata arbitrariamente la base, è sufficiente stabilire l'altezza per determinare univocamente la piramide; l'angolo formato dalle facce rispetto al terreno (chiamiamo a quest'angolo) rappresenta la pendenza della piramide, che quindi costituisce l'unica variabile del progetto (se si prescinde dalle dimensioni assolute). Qual è la pendenza delle tre piramidi di Giza? Abbiamo visto che, a causa di oggettive difficoltà, i rilievi di Petrie e Cole restano affetti da un piccolo margine d'incertezza per quanto concerne le dimensioni — e quindi la pendenza — delle piramidi; nella tabella che segue è riportato il campo di variabilità della pendenza per ciascuna delle piramidi di Giza.

tabella 4 - pendenza delle piramidi di giza
  a (min) a (max) a (probabile)
Prima piramide 51,832° 51,900° 51,866°
Seconda piramide 53,082° 53,263° 53,172°
Terza piramide 50,730° 51,197° 50,963°

A questo punto il mio intento è di analizzare le proprietà geometriche di una piramide generica la cui altezza — una volta fissata la base — vari in funzione della pendenza a, e di vedere quindi se vi siano angoli particolarmente «significativi» in prossimità del campo di valori che effettivamente a potrebbe assumere per ciascuna delle tre piramidi di Giza (campi riportati nella tabella sopra).
Le proprietà geometriche prese in considerazione sono i rapporti fra le diverse dimensioni lineari della piramide, ossia: lato di base (b), altezza (h), apotema (a), diagonale di base (d), spigolo (s). L'idea è di considerare «significativo» un angolo a per il quale molti dei rapporti che intercorrono fra le dimensioni sopra elencate si possano esprimere — entro un margine di approssimazione sufficientemente piccolo — con frazioni semplici oppure con frazioni che incorporano numeri quali P, F, Ö2, Ö3 ecc., come abbiamo già visto nel caso della Grande Piramide.
A conti fatti, l'analisi ha messo in luce tre valori di a particolarmente significativi; i rapporti che ne scaturiscono sono riportati nella tabella seguente (ho stabilito di ritenere validi i rapporti che si verificano entro un margine di approssimazione di ±0,2%).

tabella 5 - rapporti fra le dimensioni di una piramide generica
  a1 » 51,847° a2 » 53,130° a3 » 51,029°
b/h 11/7 » P/2 3/2 F
2h/b 14/11 » ÖF 4/3 2/F
a/h 14/11 » ÖF 5/4 9/7
2a/b 34/21 » F 5/3 27/17
2h/d 9/10 16/17 7/8
2s/d 31/23 11/8 -
2s/b 19/10 33/17 15/8
s/a 20/17 7/6 13/11

Come si può vedere, la piramide con pendenza a1 (51,847°) mostra di incorporare i numeri P e F, nonché frazioni semplici (in cui uno degli operatori è 10 o un multiplo di 10); la piramide con pendenza a2 (53,130°) mostra di incorporare molte frazioni semplici (in cui vi sono operatori ad una cifra), e in particolare quelle legate al triangolo pitagorico 3-4-5;(2) la piramide con pendenza a3 (51,029°) mostra di incorporare pure il numero F, nonché frazioni semplici (in cui vi sono operatori ad una cifra).
Confrontiamo a1, a2 e a3 con i valori probabili delle pendenze rilevate nelle piramidi di Giza: ebbene, le differenze sono minime, come si può vedere nella tabella seguente.

tabella 6 - pendenza delle piramidi di giza
  valori probabili valori teorici differenza
Prima piramide 51,866° a1 » 51,847° +0,019°
Seconda piramide 53,172° a2 » 53,130° +0,042°
Terza piramide 50,963° a3 » 51,029° -0,066°


Per capire di quali inezie si tratti, vediamo come varierebbe l'altezza delle piramidi di Giza sommando (o sottraendo) a ciascun valore reale della pendenza le rispettive differenze dai valori teorici: se diminuissimo di 0,019° la pendenza della Grande Piramide, la sua altezza diminuirebbe di 10 cm (0,07%); se diminuissimo di 0,042° la pendenza della piramide di Khafre, la sua altezza diminuirebbe di 22 cm (0,15%); se aumentassimo di 0,066° la pendenza della piramide di Menkaure, la sua altezza aumenterebbe di 16 cm (0,25%). Ci troviamo di fronte, pertanto, ad uno scarto massimo pari a 0,25% del valore probabile dell'altezza, il che non solo è del tutto compatibile con gli standard di precisione costruttiva riscontrati attraverso i rilievi di Petrie e Cole, ma è anche a dir poco straordinario se si tiene conto delle dimensioni colossali dei monumenti e delle limitate risorse tecnologiche attribuite agli antichi egizi.
In definitiva, questi dati mostrano che, con grande probabilità, tutte e tre le piramidi di Giza, e non solo la Grande Piramide, dovevano incorporare peculiari proprietà geometriche:
  • la piramide di Khufu, i numeri P e F;
  • la piramide di Khafre, in triangolo pitagorico 3-4-5;
  • la piramide di Menkaure, ancora il numero F.

Mi preme di rimarcare, in particolare, quella che sembra essere la principale proprietà geometrica espressa nel progetto delle tre piramidi, ossia la semplice relazione che lega — mediante uno specifico fattore — la base con l'altezza, in modo che moltiplicando l'altezza della piramide per il rispettivo fattore si ottiene la base della stessa piramide (vedi tabella 5, riga 1): tali fattori sono rispettivamente P/2 (pari a 1,571…) nella piramide di Khufu; 3/2 (pari a 1,5) nella piramide di Khafre; F (pari a 1,618…) nella piramide di Menkaure (vedi ancora fig. 1). Insomma, sembra evidente che i costruttori delle tre piramidi colsero la particolare concentrazione di significati matematici su alcuni rapporti intorno a 1,5-1,6, e per questo intesero esprimerli nei loro progetti.
È una prima conclusione di grande importanza, dalla quale si deve trarre necessariamente il seguente corollario: gli antichi egizi possedevano conoscenze matematiche — e forse anche risorse tecniche — notevolmente superiori a quanto generalmente si crede. Inoltre, l'iniziale supposizione che le tre piramidi di Giza costituiscano un complesso unitario, in cui ogni componente debba veicolare ben precisi segnali, trova senza dubbio sostegno.

 Fig. 2 - L'asse diagonale della Grande Piramide.

Il progetto di Giza
È a dir poco sintomatico che una delle massime autorità in materia, il prof. Edwards, non prenda neppure in considerazione la possibile esistenza di un progetto generale per la costruzione dei principali monumenti di Giza. Nel suo libro The Pyramids of Egypt, già citato, lo studioso affronta varie questioni inerenti all'edificazione delle piramidi: scelta del sito, orientamento dell'edificio, tecniche e metodi costruttivi presumibilmente utilizzati dagli antichi egizi per il trasporto e la posa in opera del materiale; ma non una sola parola è spesa per prendere in esame l'eventualità che l'intero complesso di Giza fosse stato progettato come un corpo unico le cui singole membra traessero giustificazione non semplicemente da sé stesse, bensì dalle funzioni dell'organismo cui appartenevano. Anche Petrie del resto si era già espresso contro l'idea di un piano generale. Poiché l'opera di Edwards rappresenta la summa delle ricerche condotte dall'egittologia accademica, non si può pensare che alcun tema di qualche importanza ne sia stato escluso; pertanto — dobbiamo necessariamente desumere — l'egittologia «ufficiale» non è neppure sfiorata dall'idea che un progetto di tale sorta possa esistere. A questo punto, spetta ad altri dimostrare il contrario.
Se esaminiamo la planimetria del complesso di Giza, il primo aspetto che appare evidente è il preciso orientamento di tutte e tre le piramidi maggiori rispetto ai punti cardinali;(3) tuttavia, la disposizione complessiva dei tre monumenti non si ispira a questo stesso principio: anziché dislocarsi lungo uno degli assi cardinali, le tre piramidi sembrano piuttosto seguire un allineamento diagonale a partire dalla Grande Piramide (vedi fig. 2). Uno schema di questo genere non implicherebbe necessariamente l'esistenza di un disegno generale: infatti, è sufficiente avanzare la ragionevole ipotesi che ciascuno dei faraoni che succedettero a Khufu avesse considerato la piramide del predecessore e i punti cardinali come riferimenti fondamentali nella costruzione della propria; non ci sarebbe dunque nulla di sconvolgente per le concezioni dell'egittologia tradizionale.
Tuttavia, a ben vedere, quest'ipotesi non convince: rispetto al semplice schema dell'allineamento diagonale lo scarto è abbastanza piccolo nel caso della seconda piramide (il cui centro si trova fuori asse di 13,75 m), ma decisamente più sensibile nel caso della terza piramide (il cui centro si trova fuori asse di 116,49 m). È possibile che si tratti semplicemente di errori dovuti alla mancanza di strumenti topografici sufficientemente precisi? Se si riflette un attimo risulta difficile credere che questa possa essere la ragione: basti considerare la straordinaria accuratezza dimostrata dai costruttori della Grande Piramide, i cui lati di base sono identici (a meno di un errore inferiore a 0,1%) ed esattamente allineati con i punti cardinali (a meno di un errore medio inferiore a 0,067°). Insomma, la capacità di conseguire standard di precisione tanto elevati nella costruzione della prima piramide rende del tutto inaccettabile l'idea che il posizionamento della seconda e della terza possa essere affetto da errori così grandi, se davvero l'intenzione fosse stata quella di allineare le tre piramidi lungo un asse diagonale. Inoltre, neppure la morfologia dell'altopiano di Giza può essere chiamata in causa a giustificare tale imprecisione, giacché non si trovano, nel sito, formazioni rocciose o alture particolari che possano aver forzato i costruttori a scostarsi dall'allineamento desiderato (di quest'avviso è anche Robert Bauval, vedi The Orion Mistery). Sembra inevitabile trarre la conclusione che se le tre piramidi di Giza non sono perfettamente — o quasi — allineate lungo l'asse diagonale della Grande Piramide, allora non dovevano esserlo neppure nelle intenzioni degli antichi costruttori i quali, se avessero voluto, certamente sarebbero stati in grado di far meglio.

 Fig. 3 - I rettangoli di Giza.

Esiste, allora, un progetto di Giza? Ancora non lo sappiamo; comunque, se esiste, è certamente qualcosa di assai diverso da un semplice schema di allineamento diagonale. Ad esempio, il complesso di Giza potrebbe costituire una sorta di mappa atta a rappresentare qualcos'altro (è questo il nocciolo della teoria della «correlazione stellare» fra le piramidi di Giza e la Cintura d'Orione, teoria formulata da Robert Bauval e poi sviluppata insieme a Graham Hancock); ma per ora intendo pormi un passo indietro e affrontare il sito di Giza nei limiti di un'analisi matematica e geometrica. Come si vedrà, tale approccio — benché non esaustivo — sarà sufficiente a dimostrare la natura assolutamente intenzionale dello schema planimetrico di Giza.

Geometrie planimetriche
Dirò subito che qualsiasi pretesa di considerare la configurazione del sito di Giza come il frutto casuale dei successivi interventi di tre faraoni, senza la guida di un progetto d'insieme, è immediatamente cancellata da un dato di fatto inconfutabile. Osservando una rappresentazione planimetrica costruita con i dati forniti da Petrie (vedi fig. 3), si constata che le tre piramidi maggiori possono essere contenute entro un rettangolo allineato con gli assi cardinali, il cui angolo nord-est coincide con l'omologo della prima piramide, mentre l'angolo sud-ovest coincide con l'omologo della terza; le lunghezze dei lati sono 742,37 m (est/ovest) e 907,12 m (nord/sud), corrispondenti rispettivamente a 1416,74 e 1731,15 cubiti reali egizi (un cubito corrisponde a circa 52,4 cm), mentre la lunghezza della diagonale è 1172,17 m, corrispondente a 2236,97 cubiti. Il nocciolo della questione sta, appunto, nei valori di tali lunghezze espresse in cubiti; in apparenza sembrerebbero numeri del tutto casuali, ma a ben vedere si scopre che non è affatto così, e che i valori di riferimento sarebbero, in effetti, i seguenti:

  • per il lato minore, Ö2´1000 ossia 1414,21 cubiti (con un errore di +2,53 cubiti, pari a +0,18%);
  • per il lato maggiore, Ö3´1000 ossia 1732,05 cubiti (con un errore di -0,90 cubiti, pari a -0,05%);
  • per la diagonale,Ö5´1000 ossia 2236,07 cubiti (con un errore di +0,90 cubiti, pari a +0,04%).

Si tratta di scarti così piccoli da escludere la semplice casualità; pertanto si può affermare che, con ogni probabilità, gli antichi costruttori intendessero proprio inscrivere le tre piramidi entro un rettangolo i cui lati misurassero Ö2 e Ö3 cubiti e la diagonale Ö5 cubiti, ingrandito mille volte. Ma perché dovrebbero essere interessanti questi valori? È presto detto: Ö2 rimanda alla diagonale del quadrato, mentre Ö3 rimanda all'altezza del triangolo equilatero; e Ö5? Ebbene, dobbiamo nuovamente chiamare in causa F, giacché troviamo Ö5 nell'espressione con la quale si definisce il numero aureo: infatti, F vale esattamente (Ö5+1)/2.

 Fig. 4 - Il cerchio che circoscrive le piramidi di Giza e incrocia la Sfinge.


Ma questo rettangolo è una nostra invenzione, oppure è un dato di progetto reale? Se ci fermassimo qui, gli egittologi non avrebbe alcuna difficoltà ad attribuire tutto al Caso. Eppure il Caso, per codesti signori, deve aver lavorato parecchio a Giza, visto che se puntiamo il compasso al centro della diagonale del rettangolo maggiore e tracciamo il cerchio che circoscrive il rettangolo stesso, vediamo che tale cerchio attraversa in pieno la Sfinge (vedi fig. 4). Allora, caso o progetto? In verità, l'esistenza di questo rettangolo è stata messa in luce dal ricercatore John Legon oltre vent'anni fa; ma egli non si rese conto che le dimensioni di tale rettangolo rimandano anche a P: infatti, la somma di Ö2 e Ö3 vale 3,146…, un valore assai vicino a 3,142… (il reale valore di P); questo significa che il perimetro del rettangolo (pari a 6295,2 cubiti) equivale, con buon'approssimazione, alla lunghezza di un cerchio di raggio 1000 cubiti (l'errore è di +12,0 cubiti, pari a +0,2%). In definitiva, si è scoperto che le tre piramidi maggiori risultano inscritte entro un rettangolo le cui dimensioni rimandano ai numeri irrazionali Ö2, Ö3, Ö5, al numero aureo F e al numero trascendente P: un condensato di significati geometrici (quasi una lezione in pillole) che sarebbe a dir poco criminale, da parte nostra, trascurare.
Eppure siamo solo agli inizi: Giza sembra essere davvero una miniera inesauribile di relazioni matematico-geometriche. Prendiamo ora in considerazione il rettangolo individuato da due angoli opposti coincidenti rispettivamente con i centri delle basi della prima e della terza piramide (vedi ancora fig. 3): chiameremo questo «rettangolo minore di Giza» per distinguerlo dal «rettangolo maggiore» già esaminato. I lati del rettangolo minore sono lunghi rispettivamente 574,45 m (est/ovest) e 739,19 m (nord/sud) corrispondenti rispettivamente a 1096,28 cubiti e 1410,67 cubiti, mentre la diagonale è lunga 936,16 m corrispondenti a 1786,56 cubiti. La prima cosa che balza all'occhio è la lunghezza del lato nord/sud, molto vicina alla lunghezza del lato est/ovest del rettangolo maggiore e ancor più al valore Ö2´1000 cubiti; in pratica, sembra che tale valore sia stato assunto come riferimento sia per la lunghezza del lato est/ovest del rettangolo maggiore che per la lunghezza del lato nord/sud del rettangolo minore, e la circostanza risulta del tutto evidente se calcoliamo la media delle due lunghezze: tale valore è 1413,70 cubiti e differisce di appena 0,51 da Ö2´1000 (l'errore è di -0,04%). Per maggiore chiarezza, nella tabella che segue riporto un riepilogo delle correlazioni sin qui riscontrate.

tabella 7 - DIMENSIONI DEI RETTANGOLI DI GIZA (in cubiti reali)
  valore reale valore teorico errore
Lato E/O rett. magg. 1416,74 Ö2 ´ 1000 +0,18%
Lato N/S rett. magg. 1731,15 Ö3 ´ 1000 -0,05%
Diagonale rett. magg. 2236,97 Ö5 ´ 1000 +0,04%
Lato E/O rett. min. 1096,28 1100 -0,34%
Lato N/S rett. min. 1410,67 Ö2 ´ 1000 -0,25%
Diagonale rett. min. 1786,56 - -

Questo quadro dovrebbe già apparire a dir poco sorprendente per chi ancora non volesse credere all'esistenza di un progetto generale, ma ulteriori sorprese ci sono riservate qualora si convertano in palmi egizi (un cubito reale si divide in sette palmi) le stesse misure sopra riportate, come si può vedere nella seguente tabella.

tabella 8 - DIMENSIONI DEI RETTANGOLI DI GIZA (in palmi)
  reale riferimento errore
Lato E/O rett. magg. 9916 1100 +0,2%
Lato N/S rett. magg. 12.117 1100 +0,1%
Diagonale rett. magg. 15.658 5000 -0,3%
Lato E/O rett. min. 7673 1100 -0,5%
Lato N/S rett. min. 9874 1100 -0,3%
Diagonale rett. min. 12.505 4000 -0,4%

 Fig. 5 - Le dimensioni della prima e della terza Piramide in rela-zione ai lati del rettangolo minore di Giza.
Da questi dati appare manifesto che le due diagonali sono multiple della lunghezza P´1000 palmi, mentre i lati sono multipli della lunghezza 1100 palmi; ma tale lunghezza, riconvertita in cubiti reali, fornisce il valore 157,14 cubiti (pari a 82,34 m) che rimanda ancora una volta a P: infatti, 157,14 corrisponde a P´50 (con un errore inferiore a +0,1%). In altri termini, i lati dei due rettangoli sembrano essere costruiti come multipli di un modulo M (pari a 1100 palmi o a P´50 cubiti) in modo che le loro lunghezze si possano esprimere come 11M, 9M, 9M e 7M; ne consegue, fra l'altro, che il rapporto fra il più grande e il più piccolo di questi lati equivale approssimativamente a 11/7, ossia circa P/2; ancora e ancora P, dunque.
Ma non è finita; sembra esservi, infatti, un preciso rapporto fra i rettangoli — maggiore e minore — e le basi della prima e della terza piramide (vedi fig. 5 — in questo specifico caso, per ragioni d'omogeneità, ho utilizzato solo i dati forniti da Petrie):
  • il lato est/ovest del rettangolo minore è quasi esattamente cinque volte la metàdel lato di base della prima piramide (con un errore di -0,2%);
  • " il lato nord/sud del rettangolo minore è quasi esattamente quattordici volte la metà del lato di base della terza piramide (con un errore di +0,1%).
 Fig. 6 - La piramide di Khafre in relazione alla diagonale del ret-tangolo maggiore di Giza.

E per quanto concerne la seconda piramide, che sembra esclusa da queste correlazioni? Non è affatto così. Innanzitutto la sua posizione è tale che, se si proietta il suo centro in perpendicolare sulla diagonale del rettangolo maggiore, la diagonale stessa risulta divisa in due segmenti della lunghezza di 1000,8 e 1236,0 cubiti (vedi fig. 6); ora, con approssimazione minima il primo dei due segmenti può essere espresso come 1000 cubiti, mentre il secondo come 2´618 cubiti; ma 618 non è altro che la sezione aurea di 1000 (ossia 1000 diviso per F). In secondo luogo, anche le dimensioni della sua base sono in relazione con le altre basi, sebbene in modo non immediato: bisogna costruire il triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato di base della Grande Piramide (pari a 230,35 m, fonte Petrie) e come uno dei cateti il modulo M scoperto in precedenza (pari a 82,34 m); il risultato è un segmento di 215,13 m (vedi fig. 7), che differisce di appena 13 cm dall'effettiva lunghezza del lato di base della seconda piramide (fonte Petrie; l'errore è inferiore a -0,1%). E non è finita qui, perché la lunghezza del lato della seconda piramide si ottiene anche moltiplicando il modulo M per F2: si ricava il valore di 215,57 m, che differisce di 31 cm dall'effettiva lunghezza (l'errore è pari a +0,1%). Inoltre anche il lato di base della terza piramide è in relazione con il modulo M: infatti il rapporto fra le due lunghezze è pari circa a 9/7 (l'errore è di -0,3%).Ciò costituisce una conferma non solo del fatto che le dimensioni delle tre piramidi sono strettamente interrelate, ma anche del fatto che il modulo M non è un'invenzione, bensì un vero e proprio dato di progetto.
Come si vede, l'analisi matematico-geometrica del sito di Giza rischia d'essere un'avventura paragonabile all'esplorazione di un pozzo senza fondo: ad ogni livello di lettura emergono nuove relazioni che, in un gioco di rimandi incrociati — come in un labirinto di specchi — creano una stupefacente sinfonia di numeri in cui P e F costituiscono una sorta di leit-motiv ossessivo; segnali emessi intenzionalmente per catturare la nostra attenzione... E si potrebbe continuare, ma ormai quel che si voleva dimostrare è ampiamente dimostrato: ossia che la configurazione del sito di Giza, lungi dall'essere il frutto di successivi interventi slegati fra loro, è generato da un progetto estremamente sofisticato che denota una profonda conoscenza della matematica e della geometria.
Vorrei tuttavia evidenziare ancora un'altra relazione geometrica, che da una parte costituisce un'ulteriore conferma dell'esistenza del modulo M, e dall'altra mette in rilievo la particolare importanza attribuita all'asse diagonale di Giza, anche se non nel senso inizialmente ipotizzato (ossia che quest'asse potesse rappresentare la direzione di allineamento delle tre piramidi, il che si è dimostrato, come abbiamo visto, semplicistico ed errato). Si tratta di questo: se tracciamo l'asse passante per il centro della Grande Piramide e allineato a 45° a est del nord, poi disegnamo il quadrato con un vertice sul centro della piramide di Menkaure, vertice opposto sull'asse diagonale medesimo e lati paralleli alle direzioni cardinali, si rileva che la lunghezza del lato di questo quadrato è 82,38 m, equivalenti a 157,21 cubiti e a 1100,4 palmi: cioè praticamente identico al modulo M, a meno di un errore inferiore a +0,1% (vedi fig. 8). Questo fatto, come anticipavo, è in primo luogo una chiara conferma dell'intenzionalità del modulo M; in secondo luogo sembra porre in particolare risalto proprio l'asse diagonale, rispetto al quale la terza piramide si distacca in maniera così poco casuale (in altra sede tratterò di come tale asse rivesta un ruolo davvero determinante in uno schema di correlazione teso fra cielo e terra).

 Fig. 7 - Il triangolo pitagorico costruito sul modulo M e sulle Pi-ramidi di Khufu e Khafre.

Il cerchio di Giza
Al lettore attento non dovrebbe sfuggire che l'insieme di relazioni geometriche appena esposte lascia ancora «un grado di libertà» — come si dice in matematica — alla posizione della piramide di Khafre: abbiamo visto che la proiezione del suo centro sulla diagonale del rettangolo maggiore produce una divisione della diagonale stessa avente un preciso significato geometrico; ma perché, allora, il centro della piramide non si trova proprio sulla diagonale? Se lo fosse, i tre centri sarebbero esattamente allineati, ma così non è.
Ciò premesso, è assai naturale osservare che tre punti sul piano, quando non sono perfettamente allineati, determinano univocamente un arco e il cerchio cui l'arco appartiene: dunque, i tre centri delle piramidi di Giza determinano univocamente un arco e un cerchio (vedi fig. 9), che d'ora innanzi chiameremo rispettivamente «arco di Giza» e «cerchio di Giza». Questi sono i dati: il diametro del cerchio è 4711,43 m, la sua lunghezza è 14.801,41 m; la lunghezza dell'arco è 942,43 m, mentre la misura dell'angolo compreso fra i raggi che congiungono il centro del cerchio con i centri delle due piramidi esterne — la prima e la terza — è di 22,9218° (d'ora innanzi chiamerò questo «angolo di Giza»). Tali valori hanno un significato, oppure sono semplicemente casuali?
Sembra sensato, tanto per cominciare, esaminare quanto valga il diametro del cerchio di Giza qualora sia espresso in unità di misura egizie. Gli egizi disponevano di un sistema piuttosto articolato. Solitamente il cubito reale è identificato come la principale unità all'interno del sistema; altre unità di misura scaturiscono da suddivisioni del cubito reale: un cubito contiene sette palmi, mentre ogni palmo contiene quattro dita; ancora, altre unità di misura sono multiple del dito, mentre altre sono multiple del cubito; un'ulteriore unità, infine, di una certa importanza, è rappresentata dal lato di un quadrato la cui diagonale equivale a un cubito (il nome di tale unità è remen). Nella tabella che segue sono riportate le lunghezze di diametro, arco e cerchio di Giza, espressi nelle principali unità egizie (oltre che in metri).

tabella 9 - dimensioni dell'arco e del cerchio DI GIZA (in DIVERSE UNITÀ egizie)
  diametro arco cerchio
  4711,43 m 942,43 m 14.801,41 m
cubiti reali      
valore reale 8991,28 1798,53 28.246,97
valore teorico 9000 1800 Ö2 ´ 20.000
errore -0,10% -0,08% -0,13%
palmi      
valore reale 62.939,0 12.589,7 197.728,8
valore teorico P ´ 20.000 P ´ 4000 -
errore +0,17% +0,19% -
remen      
valore reale 12.715,59 2543,51 39.947,24
valore teorico ÖF ´ 10.000 ÖF ´ 2000 40.000
errore -0,04% -0,02% -0,13%

 Fig. 8 - La posizione della piramide di Menkaure relazionata, tramite il modulo M, all'asse diagonale della Grande Piramide.
Ebbene, la strabiliante conclusione è che diametro, arco e cerchio di Giza mostrano evidenti correlazioni con cifre tonde e ancora con i numeri P e F: si può vedere che il diametro è circa 9000 cubiti (oppure P´20.000 palmi, oppure ancora ÖF´10.000 remen), la lunghezza dell'arco è quasi esattamente un quinto di quella del diametro e la lunghezza del cerchio è circa 40.000 remen. I ridotti margini di approssimazione (non superiori a ±0,2%) e la rilevanza di tali correlazioni fanno escludere totalmente la pura e semplice casualità, e inducono piuttosto a pensare a una precisa intenzione progettuale; ma poiché le diverse unità di misura del sistema egizio sono legate fra loro da rapporti ben precisi, è evidente che gli antichi costruttori poterono fissare una sola delle correlazioni sopra elencate, mentre le altre derivano di necessità. A mio avviso, il dato più significativo fra quelli sopra elencati è l'espressione della lunghezza del diametro pari a P moltiplicato per 10.000, espressa in palmi; e probabilmente questa fu la scelta progettuale dei costruttori. Ma non si può neanche trascurare la possibilità che essi avessero intenzionalmente impostato i dati di progetto in modo che si verificassero simultaneamente più correlazioni, con il minore errore complessivo. Cerco di illustrare il concetto, esaminando la lunghezza del diametro:
  • 9000 cubiti corrispondono a 4716,00 m;
  • P´20.000 palmi corrispondono a 4703,41 m;
  • 40.000 remen corrispondono a 14.820,96 m (lunghezza del cerchio); a un cerchio tale lunghezza corrisponde un diametro di 4717,66 m;
  • le correlazioni sopra elencate si verificano simultaneamente, con il minore errore complessivo, per una lunghezza del diametro di 4710,23 m (pari a 8989 cubiti o a P´20.029 palmi), nel qual caso la lunghezza del cerchio è 14.797,62 m (pari a 39.937 remen);
  • l'effettiva lunghezza del diametro è 4711,43 m, che differisce di 1,20 m dal valore ideale (un errore molto piccolo, inferiore a +0,03%).

In altri termini, potrebbe anche essere stata un'operazione intenzionale quella di peggiorare la precisione di una correlazione per far sì che altre potessero verificarsi con margini di approssimazione analoghi. Tale supposizione non è così azzardata come sembra: si tratterebbe, infatti, di un'operazione simile a quella compiuta con la Grande Piramide, le cui proporzioni sarebbero così fissate proprio per richiamare simultaneamente sia P che F. Come vedremo ancora, questo tipo di operazioni sembra essere una caratteristica tipica e ricorrente della mentalità matematica e simbolica dei progettisti di Giza.

 Fig. 9 - Il cerchio e l'arco di Giza.

L'angolo di Giza

Abbiamo visto che l'arco di Giza è approssimativamente un quinto del diametro; il margine di errore è straordinariamente piccolo (inferiore a 2/10.000), e ciò lascia supporre che anche questo fosse un dato di progetto. Ma la lunghezza dell'arco è direttamente legata all'apertura dell'angolo sotteso, e quindi ci si può domandare se anche l'«angolo di Giza» non nasconda per caso una qualche correlazione matematica.
La risposta è affermativa: tale correlazione risiede nel rapporto fra l'intero cerchio e l'arco di Giza, che naturalmente equivale al rapporto fra l'angolo giro (360°) e l'angolo di Giza (22,9218°). Questo rapporto vale:

360° / 22,9218°  ≈  15,7056  ≈  5 ´ P  ≈  6 ´ F2  ≈  6 ´ (F+1)

In altri termini, ciò significa che l'angolo di Giza può essere ricavato dividendo l'angolo giro (360°) in 5´P parti, oppure in 6´(F+1) parti: ancora una volta, dunque, i numeri P e F che ricompaiono ossessivamente, quasi fossero scolpiti nelle pietre di Giza.
Per la precisione, il valore esatto di 5´P è 15,7080, da cui seguirebbe un angolo al centro teorico di 360°/15,7080 ≈ 22,9183°, mentre il valore esatto di 6´(F+1) è 15,7082, da cui seguirebbe un angolo al centro teorico di 360°/15,7082 ≈ 22,9180°. Riassumendo, per maggiore chiarezza, abbiamo le seguenti relazioni:
  • angolo di Giza  ≈  22,9218°
  • 360° / (5 ´ P)  ≈  360° / 15,7070  =  22,9183° =  a
  • 60° / (6 ´ (F+1))  =  360° / 15,7082  =  22,9180°  =  b
Come si vede, risulta che a e b sono identici a meno di una vera inezia (3/10.000 di grado). Ciò significa che la relazione

5 ´ P  ≈  6 ´ F2  ≈  6 ´ (F+1)  ≈  15,7081 ± 0,0001

rappresenta un'efficacissima approssimazione di P in funzione di F (e naturalmente viceversa), anzi, la migliore approssimazione conseguibile con funzioni lineari. L'angolo intermedio fra a e b vale 22,91815°: ebbene, rispetto a questo l'angolo di Giza differisce per meno di quattro millesimi di grado... L'angolo di Giza, dunque, rimanda simultaneamente a P e a F, e in particolare ad una relazione che lega i due numeri l'uno all'altro, con tale precisione da escludere totalmente la pura e semplice casualità.

 Fig. 10 - I punti di fuga e la corda di Giza.