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15 Maggio 2004 SCIENZA
Science News
LAMPO DI GENIO
tempo di lettura previsto 10 min. circa

All´inizio del XX secolo, uno storico e matematico danese di nome Johan Ludvig Heiberg fece una scoperta unica. Nascosta nei recessi della biblioteca di un monastero ad Istanbul, si trovava una pergamena medioevale contenente copie delle opere dell´antico matematico greco Archimede, inclusi due saggi mai visti prima.

Per la meraviglia dei matematici, uno dei due nuovi saggi conteneva molte delle idee chiave del calcolo, argomenti che si credevano inventati due millenni dopo i tempi di Archimede. La scoperta creò sensazione negli ambienti, e propose la scoperta di Heiberg sulla prima pagina del New York Times nel 1907.

L´altro scritto, per contrasto, ingannò i matematici. Un frammento di un trattato chiamato Stomachion sembrava essere niente più che la descrizione di un rompicapo matematico che sarebbe potuto essere il gioco di un bambino. I matematici si chiesero perché Archimede, autore di altre opere di portata monumentale, potesse avere perso tempo in qualcosa di così frivolo.

Il frammento dello Stomachion offriva comunque un intrigante sguardo nel pensiero di Archimede. La pergamena, probabilmente scritta originariamente nel X secolo a Costantinopoli, è un codice palinsesto un documento la cui superficie è stata erosa e riutilizzata. Nel 1204, la Quarta Crociata mise al sacco Costantinopoli, e poco tempo dopo i monaci riutilizzarono la pergamena di Archimede: cancellarono il testo matematico, e riciclarono il volume come libro di preghiere cristiane. Solo le prime pagine dello Stomachion furono utilizzate nel nuovo libro, ed in queste pagine, il testo di matematica sottostante era molto nascosto e di difficile lettura.

Con il solo ausilio di una lente d´ingrandimento, Heiberg riuscì a riprodurre una larga parte del palinsesto. Quel che lesse, ad ogni modo, offrì pochi indizi sull´interesse di Archimede all´enigma. E prima che altri studiosi potessero esaminare lo scritto perduto, e forse cogliere qualcosa che Heiberg aveva mancato di individuare, la pergamena fu rubata. Svanì nell´oscurità per più di otto decenni.

Nel 1998, il palinsesto di Archimede improvvisamente riemerse da una collezione privata. Un anonimo miliardario statunitense la acquistò per 2 milioni di dollari presso la casa d´aste di Christie´s a New York, e la mise a disposizione degli studiosi. Gli storici della matematica si trovarono di nuovo a domandarsi cosa Archimede avesse in mente circa 2, 200 anni or sono.

UNA PLETORA DI SOLUZIONI

L´enigma dello Stomachion consiste di 14 pezzi tutti triangoli, quadrilateri, o figure a cinque lati che si assemblano a formare un quadrato o molte altre figure complesse, come un danzatore, un elefante o una barca. Archimede non è l´inventore del puzzle che risaliva a tempi ancora precedenti, sostiene Reviel Netz, uno storico della matematica all´Università di Stanford e parte del team di esperti che studia il palinsesto. "E´ possibile però che Archimede ne sia stato attratto vedendolo tra i giochi dei suoi bambini."

Heiberg ed i suoi contemporanei dubitavano che Archimede avesse mai potuto sprecare il suo tempo a inventare elefanti o danzatori. "Credo che Heiberg non abbia mai compreso il vero proposito di questo saggio" ha dichiarato Nigel Wilson, professore classico all´Università di Oxford, che ha studiato il palinsesto con Netz.

Wilson, Netz ed i loro collaboratori hanno avuto un compito persino più complesso di quello di Heiberg nel trascrivere il palinsesto, perché le condizioni del manoscritto erano nel frattempo peggiorate; non solo l´inchiostro era sbiadito, ma le forme erano scolorite e certe pagine erano persino mancanti in certi pezzi.

Nel corso dei decenni in cui la pergamena era scomparsa, furono dipinte false miniature medioevali su alcune pagine del palinsesto, probabilmente per aumentarne il valore agli occhi di un compratore. Fortunatamente il testo dello Stomachion non fu toccato.

A dispetto delle condizioni deteriorate del palinsesto, le tecniche di visualizzazione dell´immagine digitali stanno rivelando parti del testo che Heiberg non aveva visto. In un recente esame dello Stomachion, Netz e Wilson hanno scoperto una parola che Heiberg aveva trascritto in modo scorretto. Nella nuova lettura, è plethos che proviene dalla stessa radice etimologica di plethora e che si traduce approssimativamente come "moltitudine" o "quantità".

La parola ha suggerito a Netz una nuova possibilità: Archimede era stato interessato non tanto dalle varie forme che possono essere create con i pezzi del puzzle, piuttosto dal determinare in quanti differenti modi i pezzi possano essere posizionati per creare un quadrato. Se la supposizione di Netz fosse corretta, si dimostrerebbe che Archimede si interessava di calcolo combinatorio, un ramo della matematica che calcola le combinazioni e le sistemazioni degli oggetti e che ha trovato riconoscimento negli ambienti accademici solo negli ultimi cinquanta anni.

TOCCARE ARCHIMEDE

Si trattava di capire se Archimede fu in grado di calcolare il numero dei diversi quadrati che si sarebbero potuti creare con i pezzi del puzzle. Era un calcolo semplice, si chiedeva Netz, o qualcosa di troppo complicato per essere computato a mente?

Netz ha chiesto ai matematici di Stanford, Persi Diaconis e Susan Holmes di scoprire quanto potesse essere difficile risolvere il problema. La coppia ha iniziato a giocare con un modello fisico del puzzle dello Stomachion e ha scoperto che contarne le differenti combinazioni era sorprendentemente difficile.

"Avevamo pensato, inizialmente, che saremmo stati in grado di sederci e sviluppare in un solo giorno quante combinazioni ci potessero essere" ha dichiarato la Holmes. "Poi abbiamo capito che ce n´erano davvero tantissime, molte di più di quanto ci si potesse aspettare"

Insieme con i matematici Ron Graham e Fan Chung dell´Università di California, San Diego, la coppia ha studiato instancabilmente il puzzle per alcuni mesi, motivati dalla considerazione che il grande Archimede aveva considerato la questione rilevante.

"Per me, era una scusa per raggiungere e toccare Archimede in qualche modo" ha dichiarato Diaconis. "Era eccitante pensare che mi stavo misurando con qualcosa su cui egli stesso aveva passato il suo tempo"

Il gruppo ha determinato che i pezzi possono essere messi insieme a formare un quadrato in non meno di 268 modi differenti. Questo numero di combinazioni, seppure ampio, potrebbe, in effetti, essere stato calcolato anche a mente. "Archimede potrebbe esservi riuscito" ha dichiarato Diaconis.

Un calcolo indipendente effettuato dallo scienziato informatico William Cutler di Elgin, Illinois, è pure venuto a capo di 268 differenti combinazioni.

I matematici non erano riusciti a rispondere alla domanda di Netz, ma quantomeno, Chung e Graham avevano inquadrato il problema. Mentre giocavano con i pezzi, hanno notato interessanti disegni che li hanno convinti che vi era ancora qualcosa da scoprire riguardo sullo Stomachion.

ROTAZIONE DELLE COMBINAZIONI

I matematici hanno notato che le combinazioni sembrano sempre contenere una forma più piccola e simmetrica, come un quadrato o un triangolo isoscele. Se la forma più piccola viene ruotata o invertita, il risultato è una combinazione correlata che differisce dalla prima solo all´interno della piccola forma.

Graham e Chung hanno deciso di tentare di visualizzare queste relazioni usando un sistema, simile ad Internet, consistente di punti con linee che uniscono alcuni di loro. In questo sistema, ogni punto rappresenta una differente combinazione. Una linea unisce due punti se le due combinazioni sono correlate l´una all´altra per rotazione o inversione di una forma simmetrica interna.

Tradurre il puzzle in un sistema ha consentito a Chung e Graham di trasformarlo in un arsenale di strumenti teorici. Hanno iniziato ponendosi la domanda matematica standard circa i sistemi: i punti sono collegati? Quali tipi di relazioni possono intercorrere tra le linee del sistema?

Con grande sorpresa, la coppia ha scoperto che il sistema si divide in due tronconi uno più grande contenente 266 combinazioni, ed un più piccolo che contiene le altre due.

"Non ci aspettavamo che così tanti punti del sistema fossero collegati, ma è stata una sorpresa che vi fossero queste due sole combinazioni all´esterno della galassia principale" ha dichiarato Graham.

La coppia di combinazioni solitarie ha una simmetria considerevolmente minore di quella degli altri. Ognuna contiene solo un piccolo trapezoide che può essere invertito per ottenere l´altra combinazione.

Nel troncone maggiore, Chung e Graham hanno individuato un circuito detto del "commesso viaggiatore" un percorso attraverso il sistema che visita ogni punto esattamente una volta. In altre parole, partendo da una delle combinazioni, è possibile andare avanti in un giro di tutte le combinazioni, eccetto delle due estranee, facendo una semplice rotazione o inversione.

Per passare da una combinazione all´altra, ad ogni modo, non è necessario passare attraverso tutte le altre combinazioni. Graham e Chung hanno mostrato che il sistema ha 11 gradi di separazione ovvero, per passare dall´una all´altra, sono necessarie al massimo 11 semplici mosse. Per una coppia di combinazioni scelte casualmente, Graham ha stimato che sia sufficiente una media di 5 mosse.

Ritornando dal sistema al puzzle vero e proprio, il gruppo è stato colpito da una speciale proprietà notata da Athina Markopoulou, una studiosa di post dottorato in ingegneria elettronica alla Stanford. Se il puzzle dello Stomachion viene posizionato su una griglia di 12 per 12, allora tutti gli angoli delle combinazioni giacciono su punti d´intersezione della griglia. Fino a qui, niente di straordinario molti puzzle hanno questa proprietà.

Quel che è sorprendente, è che a prescindere da come le combinazioni dello Stomachion siano sistemate per creare un quadrato, gli angoli ancora cadranno su punti d´intersezione. Questo non è generalmente vero per i puzzle quadrati.

"Vi è qualcosa di speciale circa le combinazioni nel puzzle dello Stomachion" ha dichiarato Graham, ma fino ad ora, i ricercatori non hanno capito perché lo Stomachion abbia queste proprietà.

UN NOBILE LIGNAGGIO

Archimede era consapevole di questa struttura? "Non mi stupirei che ne avesse avuto piena coscienza" ha dichiarato Wilson.

Secondo Netz, invece, è improbabile che Archimede avesse costruito un sistema come quello di Graham e Chung. L´intera idea di rappresentare le relazioni usando un sistema, è molto recente, ha dichiarato, ed è difficile pensare che il matematico greco disponesse già di simili strumenti concettuali.

Vi sono alcuni indizi che fanno pensare che Archimede abbia studiato i suoi teoremi geometrici grazie allo Stomachion. Nel suo saggio, menziona il puzzle quasi completo. Potrebbe essersi riferito ad una disposizione del puzzle, nella quale tutti i pezzi sono stati piazzati meno uno, lasciando uno spazio vuoto, sostiene Holmes. Lo spazio vuoto avrebbe avuto la stessa area dei pezzi rimanenti, così Archimede potrebbe averlo utilizzato per calcolare l´area di forme complicate.

Diaconis specula che Archimede potrebbe avere usato lo Stomachion anche per costruire una prova pittorica di alcuni risultati geometrici come il teorema di Pitagora, la famosa equazione che correla le lunghezze dei due lati più corti di un triangolo rettangolo e la lunghezza dell´ipotenusa. "Ho continuato a pensare che alcuni appassionati di matematica potrebbero divertirsi con i pezzi e scoprire se potrebbero riuscire a ricavarvi in qualche modo il teorema di Pitagora" ha dichiarato.

Netz e Wilson, d´altro canto, stanno scrivendo un articolo che sostiene che Archimede si fosse occupato del numero di differenti combinazioni del quadrato. Gli argomenti di Archimede, rimarranno però nel reame delle speculazioni, almeno fino a che verrà alla luce una maggior parte del saggio sullo Stomachion. "E´ ben noto che Archimede era un personaggio imprevedibile." Ha dichiarato Wilson. "Era molto intelligente ed i comuni mortali non possono facilmente indovinare come lui arrivasse dal punto A al punto B."

L´idea che Archimede possa aver contato il numero delle combinazioni, intriga Diaconis, che è un esperto di calcolo combinatorio egli stesso. "Il Calcolo Combinatorio viene considerato l´ultima ruota del carro della matematica, ed i matematici non lo trattano con lo stesso rispetto della geometria o della teoria dei numeri" ha dichiarato. "Ma ora Archimede ci riscatta, e svela al mondo il nobile lignaggio della nostra scienza"


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